¿Qué es un oscilador armónico? (Parte 2)


En el post anterior sobre osciladores armónicos hacíamos una introducción sin matemáticas del movimiento armónico simple y a los osciladores armónicos. En esta segunda parte vamos a entrar un poco más en detalle en la explicación clásica del movimiento armónico simple. En principio, para seguir esta explicación se requieren unos conocimientos mínimos de álgebra elemental y espero no aburriros.

Volviendo al ejemplo del muelle pensemos en una situación como la representada en la figura siguiente, en la que tenemos un objeto de masa m que se desliza sin rozamiento sobre un plano horizontal y que está unido a un muelle de constante elástica k y estiramos el muelle una distancia x.

La Segunda ley de Newton nos dice que la fuerza es igual a la masa por la aceleración:

La acerelación es, en el caso de un movimiento rectilíneo, la segunda derivada de la distancia con respecto al tiempo (no os asustéis) y se expresa de la siguiente forma:

substituyendo en la fórmula anterior, nos queda:

Por otra parte, la Ley de Hooke para un muelle elástico nos dice que la fuerza que ejerce un muelle es igual a la constante elástica del mismo multiplicada por la distancia que se ha estirado o encogido el muelle (como la fuerza se ejerce en dirección contraria a la distancia, se pone signo negativo):

Ambas fuerzas son iguales, por lo tanto:

Reorganizando los términos y dividiendo por m nos queda:

Si ahora nos inventamos una constante omega (ω) que elevada al cuadrado sea:

La ecuación anterior nos quedaría:

Esta es la parte difícil del asunto. Esta ecuación es una ecuación diferencial con soluciones conocidas que son funciones seno o coseno de omega (ω) y el tiempo. Las ecuaciones diferenciales son complejas y me tendréis que creer cuando os diga que la solución de esta ecuación para la posición de la masa es:

En la ecuación anterior, x es la posición de la masa con respecto a la posición de equilibrio, A es la amplitud del movimiento (el máximo desplazamiento que alcanza la masa) y el término ωt + φ es lo que se conoce como fase, siendo φ la fase inicial. Si representamos el desplazamiento (x) frente al tiempo (t) obtendríamos una gráfica parecida a la siguiente.

¿Qué es ω?. ω antes lo habíamos definido como:

o lo que es lo mismo (haciendo la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación):

y es lo que se conoce como frecuencia angular que se relaciona con la frecuencia (número de oscilaciones que realiza la masa por unidad de tiempo) por la ecuación:

si igualamos las dos ecuaciones anteriores obtenemos:

o lo que es lo mismo:

Como vemos, en el movimiento oscilatorio simple inducido por un muelle sobre una masa, la frecuencia de oscilación sólo depende de la constante elástica del muelle y de la masa y no depende para nada de la distancia a la que se haya movido la masa con respecto a la posición neutra del muelle.

Espero que esta explicación no haya sido muy árida.

2 comentarios

Archivado bajo Explicaciones

2 Respuestas a “¿Qué es un oscilador armónico? (Parte 2)

  1. RogeB

    buy buen blog, si rafa supiera realmente lo que es un oscilador!!…hahahahhaha

    una pena que tantos se dejen enganiar facilmente, con lo de ” osciladores armonicos”…

  2. Gracias RogeB por tu comentario. A lo mejor muchos de los engañados no saben lo que es en realidad un oscilador armónico.

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