¿Qué es un oscilador armónico? (Parte 3)


Esta es la tercera entrada de la serie de ellas dedicadas a los osciladores armónicos. En la primera entrada hacíamos una introducción general al movimiento armónico simple mientras que en la segunda entrada profundizábamos en el modelo matemático clásico de los osciladores armónicos.

El propósito de esta tercera entrada es tener una visión general del modelo cuántico de osciladores armónicos. La idea no es quedarnos con las matemáticas sinó con las implicaciones que ese modelo tiene desde el punto de vista de la realidad. Intentaré exponerlo de la forma más simple posible y comentaros, también, que este es uno de los ejemplos más sencillos que se pueden poner de la ecuación de Schrödinger. Para la introducción vamos a rescatar una imagen del segundo post.

Con el mismo ejemplo que en la segunda entrada, vamos a analizar la situación de la partícula enganchada al muelle desde el punto de vista de la energía. En este sentido, sabemos que cuando no estiramos ni encojemos el muelle, la masa está en reposo luego su energía total es cero. Si estiramos o comprimimos el muelle una distancia x, la masa tiene una energía potencial que es la capacidad que tiene nuestro sistema de producir un trabajo, esto es, de mover la masa a una determinada velocidad. La energía potencial (Ep) depende de la distancia que se estira o se contrae el muelle. Esto está representado por la fórmula siguiente:

Para un oscilador armónico clásico, la energía total del sistema será igual a la energía potencial existente en el punto de máximo alejamiento del punto de equilibrio que es lo que habíamos denominado amplitud o A:

Es decir, en el modelo clásico, la energía del oscilador no depende de la masa y sólo depende de la constante de elasticidad y de la amplitud del movimiento. Por lo tanto, la energía que puede tener nuestro particular oscilador armónico clásico puede tomar cualquier valor y dependiendo de las características del propio muelle y de la distancia que estiremos o comprimamos el muelle.

Bueno, hasta aquí hemos llegado con el modelo clásico ahora vamos a adentrarnos en los procelosos caminos del mundo cuántico. En el mundo clásico, el comportamiento dependiente del tiempo de nuestro oscilador armónico lo determinábamos a partir de la segunda ley de Newton. En el mundo cuántico utilizamos una ecuación distinta: la ecuación de Schrödinger que, en este caso, tiene esta pinta:

No parece nada del otro jueves ¿verdad?. En esa ecuación los términos son:

  • E es la energía de un estado del sistema
  • El símbolo Ψ es la función de onda que representa el estado cuántico de nuestro oscilador y que es un estado estacionario cuando satisface la ecuación.
  • H es lo que se conoce como hamiltoniano. El hamiltoniano es un operador que representa la energía total del sistema.

Las cosas se ponen un poco complejas. Sobre todo si substituimos el hamiltoniano por su valor para nuestro sistema las cosas quedan así (tendréis que creerme):

Bien, “eso” de ahí arriba es una ecuación diferencial. Vamos a analizar los términos:

  • h que representa la constante de Plank
  • m es la masa unida al muelle,
  • k es la constante elástica del muelle.
  • x es la posición de la masa con respecto al punto de equilibrio.

Si os fijáis, el término de la derecha es parecido a la energía potencial que habíamos visto más arriba. De nuevo me tendréis que creer (o buscaros a otro que os lo cuente) cuando os diga que los valores de E para los que la ecuación tiene soluciones estacionarias son los representados por la siguiente fórmula:

Donde n puede tomar los valores 0,1, 2, … y f es la frecuencia de nuestro oscilador.

Lo importante no son las fórmulas, lo importante son los conceptos. En este sentido, es importante destacar dos aspectos:

  • La energía del oscilador armónico cuántico, a diferencia de lo que ocurría en el modelo clásico, no puede tomar cualquier valor, sólo puede tomar aquellos valores representados por la ecuación anterior. Es decir, la energía está cuantizada.
  • A diferencia del modelo clásico, la energía de nuestro oscilador armónico no es nunca 0. Cuando n toma el valor 0, el valor de la energía será el proporcionado por la siguiente fórmula y se corresponde, ni más ni menos, con la energía de punto cero del oscilador armónico cuántico.

La curva de energía para el oscilador armónico cuántico tiene este aspecto:

El eje vertical representa la energía, el eje horizontal la distancia con respecto al punto de equilibrio, la curva negra es la energía potencial y las curvas de colores representan las funciones de onda para cada uno de los niveles.

Este tipo de osciladores armónicos tienen su representación real en los enlaces químicos. Si pensáis en la masa dibujada arriba como un átomo de hidrógeno y el punto de anclaje en la pared como el átomo de óxigeno, el muelle representa el enlace químico entre oxígeno e hidrógeno. Los modos de vibración representados por el oscilador armónico son los que se pueden apreciar en el espectro de infrarrojos de estos enlaces químicos (por ejemplo en el agua).

Espero que os haya gustado.

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5 comentarios

Archivado bajo Explicaciones

5 Respuestas a “¿Qué es un oscilador armónico? (Parte 3)

  1. angel67

    guau!, si que me ha gustado!, muy clara la explicación,
    ahora me gustaría que tocarás el tema de los osciladores no como concepto físico de un muelle, si no como concepto eléctrico y/o acústico y lo que representa los armónicos en ese campo. salu2.

    • Ángel eso que pides es un poco más complicado. Intentaremos satisfacerlo pero voy a necesitar repasar la física que dejé de estudiar hace casi treinta años.

      Gracias por tu comentario.

  2. Pingback: Incertidumbre | Stargazer

  3. telecoco

    Para aquellos que gustan de querer ir mas allá como lo de entender los conceptos de un oscilador armónico en otros campos, como el electromagnétismo, tan solo decir que cambian los elementos que conforman el sistema (ej en vez de muelles y masas se analiza comportamiento de la materia inmersa en un campo electromagnético por sus propiedades de permeabilidad a los mismos y de conductancia). Sin embargo las ecuaciones de onda a las que se llega a partir de las expresiones de los campos son análogas a las expuestas por drqantico, por lo que muchos de los resultados son similares. De hecho es muy frecuente en la ingeniería realizar símiles electrodinamicos

  4. telecoco

    Para aquellos que gustan de querer ir mas allá como lo de entender los conceptos de un oscilador armónico en otros campos, como el electromagnétismo, tan solo decir que cambian los elementos que conforman el sistema (ej en vez de muelles y masas se analiza comportamiento de la materia inmersa en un campo electromagnético por sus propiedades de permeabilidad a los mismos y de conductancia). Sin embargo las ecuaciones de onda a las que se llega a partir de las expresiones de los campos son análogas a las expuestas por drqantico, por lo que muchos de los resultados son similares. De hecho es muy frecuente en la ingeniería realizar símiles electrodinamicos, hidráulicos, mecánicos para representar otros sistemas que se ajustan a este tipo de ecuaciones, por la sencillez conceptual y lo profundamente estudiados que están. POr tanto puedo buscar o exponer algo sobre ello, sobre todo exponer el sustrato físico que explica el fundamento de comportamiento de la materia ante el electromagnetismo (que es realmente complejo) si lo desea pero es bueno que se abstraiga de ello si desea entender conceptualmente el comportamiento de la misma.

    Saludos.

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