Cayendo por su propio peso (II)


494px-Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_BtPlatón es mi amigo, Aristóteles es mi amigo pero mi mejor amigo es la verdad.

— Isaac Newton

En el post anterior de la serie nos quedábamos a comienzos del siglo XVII, Galileo había afirmado y demostrado que la caída de los objetos seguía un movimiento uniformemente acelerado y que la velocidad de caída de los objetos no depende de la masa de éstos. Asimismo, habíamos visto que, partiendo de las observaciones realizadas por Tycho Brahe, Johannes Kepler formula sus famosas tres leyes que están relacionadas con el movimiento de los objetos celestes.

Tenemos, por lo tanto, dos tipos de fenómenos distintos. Por una parte, la dinámica de la caída de objetos en la Tierra que fue estudiada por Galileo y, por otra parte, los movimientos de los planetas que fueron estudiados por Brahe y Kepler. ¿Se trata de fenómenos distintos o están relacionados? Quien establece esta correlación, quien postula que la caída de objetos sobre la superficie de la Tierra y el movimiento de los planetas alrededor del sol están causados por la misma interacción no es otro que Isaac Newton.

Cuenta la leyenda que Newton estableció la relación entre los dos tipos de fenómenos: la gravedad y la dinámica de los objetos celestes al ver caer una manzana de un árbol. La realidad es que, probablemente, la deducción de la Ley de la Gravitación Universal parta de los análisis de las trayectorias curvas iniciados por Robert Hooke a mediados del siglo XVII. En línea con el trabajo de Hooke, Newton postula que existe una fuerza de atracción entre objetos que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y que es proporcional a las masas de los objetos que se atraen.

Newton publica en 1687, dentro de su obra Philosophiæ naturalis principia mathematica, en concreto, dentro del libro tercero su ley de gravitación universal. En su libro, Newton va desgranando una serie de hechos observados sobre los satélites de Júpiter y Saturno, sobre los planetas y sobre la luna y postula que la fuerza de atracción de la gravedad está en relación inversa al cuadrado de la distancia.

¿Cómo llega Newton a esta conclusión? Para ello, supone que si la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia y la aceleración de la gravedad no depende de la masa del objeto atraído (tal y como demostró Galileo) entonces, conociendo la aceleración de la gravedad se puede predecir el período orbital de la Luna.

Así dicho, esto es un poco difícil de entender pero vamos a ir viéndolo paso a paso. Vamos a empezar con un esquema del sistema tierra/luna:

Picture31

En este esquema simplificado vemos las principales magnitudes: el radio de la Tierra (RT) y la distancia de la Tierra  a la Luna (DTL). Ambas magnitudes eran sobradamente conocidas en la época de Newton. El radio de la Tierra había sido determinado por Eratóstenes y la distancia de la Tierra a la Luna por Aristarco. De hecho, la estimación es que la distancia de la Tierra a la Luna era 60 veces el valor del radio de la Tierra:

Picture32

Asimismo, la aceleración de la gravedad en la superficie de la tierra (g) era conocida desde la época de Galileo y se determina de distintas formas (plano inclinado, péndulo, etc.).

Newton razona de la siguiente forma: si una masa m en la superficie de la Tierra es atraída por una fuerza (segunda ley de Newton):

Picture33

Esa misma masa, situada a la distancia de la Luna, teniendo en cuenta que la fuerza está en relación inversa con el cuadrado de la distancia y la distancia es 60 veces mayor que en la superficie de la tierra, sería:

Picture34

La longitud de la órbita de la Luna (LOL) (asumiendo una órbita circular) sería:

Picture35Si suponemos que el período de la órbita de la Luna es TL. La velocidad de desplazamiento de la Luna (vL) sería:

Picture36y la fuerza (centrípeta) que mantiene a la Luna en su órbita sería:

Picture37

que debe ser igual a la fuerza de atracción gravitatoria:

Picture38

Las masas se cancelan y simplificando se obtiene:

Picture39

Picture40

Como vimos, en la época de Newton eran conocidos tanto RT como g. Si utilizamos los valores para estas constantes en el sistema internacional de unidades (RT = 6.371.000 m y g = 9,81 m/s2) y hacemos los cálculos obtendríamos para TL un valor de 2.353.299 segundos o lo que es lo mismo que 27,24 días que se aproxima mucho al valor observado del período lunar de 27,32 días (un error menor del 0,3%).

Bueno, todo esto nos muestra cómo Newton verificó que su Ley de Gravitación universal era consistente con los datos observados en relación con la rotación de la Luna. Esto le sirvió como confirmación de la proporcionalidad inversa con respecto al cuadrado de la distancia de la fuerza de atracción gravitatoria. A partir de esta confirmación, Newton concluye que entre cualquier par de masas m1 y m2 existe una fuerza que es proporcional a las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Su formulación es así:

Picture30Newton no determinó la constante de proporcionalidad que gobierna esta relación. Tendría que pasar más de un siglo para que un compatriota de Newton, Henry Cavendish, obtuviera experimentalmente el valor de la constante de gravitación universal.

Una vez establecida la Ley de Gravitación, el objetivo era demostrar las leyes de Kepler a partir de la Ley de Gravitación. Dado que la demostración de las dos primeras leyes de Kepler requiere unas matemáticas más avanzadas voy a contentarme aquí con demostrar la tercera ley de Kepler para el caso particular de órbitas circulares.

Algún listo (como Narayana) preguntará “¿qué es esto?, la primera ley de Kepler nos dice que las trayectorias son elípticas y ¿pretendes demostrar la tercera Ley aproximando a trayectorias circulares?” Bueno la respuesta es que, a priori, no es una mala aproximación: la circunferencia es un caso especial de una elipse (una elipse con excentricidad 0) y las órbitas de los planetas del sistema solar, en especial de la Tierra tienen excentricidades muy bajas (0,028 en el caso de la Tierra). En resumen que la aproximación permite evitarnos la dificultad matemática que supone el manejo de órbitas elípticas.

La tercera Ley de Kepler nos dice que los cuadrados de los períodos orbitales de los planetas son proporcionales al cubo de sus distancias medias al sol y que esa constante de proporcionalidad es la misma para todos los planetas. Esto, expresado matemáticamente sería (T es el período y r la distancia media al sol):

Picture29

Que se podría expresar también así (K es la constante de proporcionalidad):

Picture12(1) La fuerza de atracción gravitatoria (FG) entre el sol y el planeta viene dada por (M es la masa del sol, m la masa del planeta, G la constante gravitatoria y r la distancia del planeta al sol):

Picture3

(2) Asumimos que el planeta está en una órbita estable por lo que debe existir una fuerza centrípeta (FC) que compense a la fuerza de la gravedad (m es la masa del planeta, v la velocidad de traslación del planeta y r la distancia del planeta al sol):

Picture4

(3) Ambas fuerzas deben ser iguales:

Picture5

Picture6

(4) Determinamos la longitud de la órbita (LC) del planeta asumiendo que la órbita es circular (r es la distancia del planeta al sol):

Picture7

(5) A partir de la longitud de la órbita y del período orbital calculamos la velocidad de traslación del planeta:

Picture9

(6) Calculamos el cuadrado de la velocidad y sustituimos su valor en la igualdad obtenida en el paso (3):

Picture10

Picture11

(7) Reordenando términos y simplificando obtenemos una formulación de la tercera Ley de Kepler.

Picture13

(8) La constante de proporcionalidad para la tercera Ley de Kepler es:

Picture14

Esta constante sólo depende de pi, de la constante de gravitación universal y de la masa del Sol. Es decir, la relación entre el período orbital de un planeta y su distancia al sol para cualquier planeta de cualquier sistema solar depende de la masa del sol y no de la masa del planeta.

Me gustaría llamar la atención a los lectores sobre el denominador de la fórmula anterior. El producto de la Constante de Gravitación Universal por la masa de un objeto, en este caso, el Sol se conoce como parámetro gravitacional estándar y se representa por la letra griega mu.

Picture41

Para muchos objetos del sistema solar, el parámetro gravitacional estándar se puede determinar con mayor precisión que la constante de gravitación universal o la masa del objeto. Las unidades de mu son, en el sistema internacional m3s-2.

Con esto vamos a cerrar esta segunda parte del post. Recalcar de nuevo que no fue hasta más de un siglo después de la publicación de los Principia de Newton cuando se determinó el valor de G y esa determinación es el objeto del siguiente post de la serie.

6 comentarios

Archivado bajo Explicaciones

6 Respuestas a “Cayendo por su propio peso (II)

  1. Me ha encantado, esperando la siguiente parte

  2. Pingback: El príncipe de las mareas | Stargazer

  3. Pingback: Cayendo por su propio peso (III) | Stargazer

  4. Pingback: Algunas aclaraciones | Stargazer

Deja un comentario:

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s